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（2.1）
（2.2）
式中，H为磁场强度，单位为A/m；J为电流密度，单位为A/m2；B为磁感应强度，单位为T。
在非线性磁场中可知
（2.3）
式中，A为矢量磁位；为磁导率。
从而可得直角坐标系下的向量磁位三维方程
（2.4）
对于轴对称的非线性问题，在圆柱坐标系下可化简为
（2.5）
当磁场中包含有永磁材料时，需要建立包括永磁材料在内的等效数学模型。永磁材料的等效数学模型有两类：一类是安培电流模型；一类是磁荷模型。磁荷模型根据电偶极子场的对称原理，得到磁偶极子场
（2.6）
式中为磁荷，单位为Wb；d为面磁荷的间隔，单位为m；为真空磁导率，单位为H/m；m为磁偶极矩，单位为A·m2。可推得等效的磁荷密度为
（2.7）
对于均匀性质的磁体内，没有宏观的体磁荷密度，即
（2.8）
在永磁体的边界上，由于磁化矢量法线分量的不连续性，将在这些面上建立表面磁荷，其密度为
（2.9）
式中，M1为空气的磁化矢量，单位为A/m；为外法线方向矢量；M2为永磁材料磁化矢量，单位为A/m。
在永磁体的边界上，由磁位矢量方向所决定的二个磁极的边界上存在有等异号的磁荷，其中
（2.10）
式中为永磁体磁化强度。
安培电流模型的基础是认为在自由空间中可以用电流回路形成磁偶极子，有麦克斯韦-安培定律有
（2.11）
式中，为磁通密度，单位为T；为磁化体等效电流密度，单位为A/m2。
当均匀磁化时，在均匀磁体内部电流相互抵消，因此
（2.12）
在磁体的边界上，磁化矢量的切线分量不连续，所以产生安培面电流，其密度为
（2.13）
式中，n为边界外法线；M1为空气磁化强度，单位为A/m；M2为磁体磁化强度，单位为A/m。
对于钕铁硼稀土永磁材料，经推导可得面电流密度为
（2.14）
式中，为剩余磁感应强度，单位为T；为永磁体的磁导率，单位为H/m。
由于轴对称非线性问题，在圆柱坐标系下当考虑永磁材料作用时，写为
（2.15）
（2.16）
由于永磁材料的存在，使在能量泛函中多了环路积分一项，即 |
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